对于不完全为0的非负整数a, b, GCD(a, b)表示 a和b 的最大公约数, 必然存在整数对(x, y), 使 ax+by=GCD(a, b).
扩展欧几里得算法就是用来求解 (x, y)
证明：
设 a>b，
当 b=0 时： gcd（a，b）=a，此时 x=1，y=0
当 ab!=0 时： 设
ax1+by1=gcd(a,b)
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)
根据欧几里德算法: gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2=ay2+bx2-(a/b)by2
根据恒等定理： x1=y2; y1=x2-(a/b)y2
*这样就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2的，上面的思想是基于递归的，因为 gcd 不断的递归求解, 一定会有个时候 b=0.
int ExGCD(int a, int b, int &x, int &y) {
if(b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int ans = ExGCD(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return ans;
}
题目链接： 同余方程
同余： 给定正整数m, 如果整数a、b满足(a-b)整除m, 即(a-b)/m得到一个整数, 则称整数a、b对模m同余, 记作a≡b(mod m).
若存在 ax≡1(mod b), 则一定存在 y 使 ax+by=1, 故使用扩展欧几里得计算线性方程 ax+by=c, 扩展欧几里得求出的未必是最小正整数解, 需要处理x。
若(x, y)满足 ax+by=1
则 a(x-kb)+b(y+ka)=1
所以 x=((x%b)+b)%b
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int ExGCD(int a, int b, int &x, int &y) {
if(b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int ans = ExGCD(b, a % b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a / b * y;
return ans;
}
int a = 0, b = 0, x = 0, y = 0;
int main() {
scanf("%d %d", &a, &b);
ExGCD(a, b, x, y);
x = ((x % b) + b) % b;
cout << x << endl;
return 0;
}
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；
（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html
用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
代码如下：
bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
int d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)
return false;
int k=c/d;
x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解
return true;
}
(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
相关证明：
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)
证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n) (由于 d | a)
= b
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下：
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=exgcd(a,n,x,y);
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n; //特解
for(i=1;i<d;i++)
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
return true;
}
（3）用欧几里德算法求模的逆元：
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。